The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(O(1), O(n^1)).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

pairNs → cons(0, n__incr(n__oddNs))
oddNs → incr(pairNs)
incr(cons(X, XS)) → cons(s(X), n__incr(activate(XS)))
take(0, XS) → nil
take(s(N), cons(X, XS)) → cons(X, n__take(N, activate(XS)))
zip(nil, XS) → nil
zip(X, nil) → nil
zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(pair(X, Y), n__zip(activate(XS), activate(YS)))
tail(cons(X, XS)) → activate(XS)
repItems(nil) → nil
repItems(cons(X, XS)) → cons(X, n__cons(X, n__repItems(activate(XS))))
incr(X) → n__incr(X)
oddNs → n__oddNs
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
zip(X1, X2) → n__zip(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
repItems(X) → n__repItems(X)
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__oddNs) → oddNs
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__zip(X1, X2)) → zip(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__repItems(X)) → repItems(activate(X))
activate(X) → X

Rewrite Strategy: INNERMOST

(1) CpxTrsToCdtProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Converted CpxTRS to CDT

(2) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

pairNs → cons(0, n__incr(n__oddNs))
oddNs → incr(pairNs)
oddNs → n__oddNs
incr(cons(z0, z1)) → cons(s(z0), n__incr(activate(z1)))
incr(z0) → n__incr(z0)
take(0, z0) → nil
take(s(z0), cons(z1, z2)) → cons(z1, n__take(z0, activate(z2)))
take(z0, z1) → n__take(z0, z1)
zip(nil, z0) → nil
zip(z0, nil) → nil
zip(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) → cons(pair(z0, z2), n__zip(activate(z1), activate(z3)))
zip(z0, z1) → n__zip(z0, z1)
tail(cons(z0, z1)) → activate(z1)
repItems(nil) → nil
repItems(cons(z0, z1)) → cons(z0, n__cons(z0, n__repItems(activate(z1))))
repItems(z0) → n__repItems(z0)
cons(z0, z1) → n__cons(z0, z1)
activate(n__incr(z0)) → incr(activate(z0))
activate(n__oddNs) → oddNs
activate(n__take(z0, z1)) → take(activate(z0), activate(z1))
activate(n__zip(z0, z1)) → zip(activate(z0), activate(z1))
activate(n__cons(z0, z1)) → cons(activate(z0), z1)
activate(n__repItems(z0)) → repItems(activate(z0))
activate(z0) → z0

Tuples:

PAIRNS → c(CONS(0, n__incr(n__oddNs)))
ODDNS → c1(INCR(pairNs), PAIRNS)
INCR(cons(z0, z1)) → c3(CONS(s(z0), n__incr(activate(z1))), ACTIVATE(z1))
TAKE(s(z0), cons(z1, z2)) → c6(CONS(z1, n__take(z0, activate(z2))), ACTIVATE(z2))
ZIP(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) → c10(CONS(pair(z0, z2), n__zip(activate(z1), activate(z3))), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z3))
TAIL(cons(z0, z1)) → c12(ACTIVATE(z1))
REPITEMS(cons(z0, z1)) → c14(CONS(z0, n__cons(z0, n__repItems(activate(z1)))), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__oddNs) → c18(ODDNS)
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))

S tuples:

PAIRNS → c(CONS(0, n__incr(n__oddNs)))
ODDNS → c1(INCR(pairNs), PAIRNS)
INCR(cons(z0, z1)) → c3(CONS(s(z0), n__incr(activate(z1))), ACTIVATE(z1))
TAKE(s(z0), cons(z1, z2)) → c6(CONS(z1, n__take(z0, activate(z2))), ACTIVATE(z2))
ZIP(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) → c10(CONS(pair(z0, z2), n__zip(activate(z1), activate(z3))), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z3))
TAIL(cons(z0, z1)) → c12(ACTIVATE(z1))
REPITEMS(cons(z0, z1)) → c14(CONS(z0, n__cons(z0, n__repItems(activate(z1)))), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__oddNs) → c18(ODDNS)
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))

K tuples:none
Defined Rule Symbols:

pairNs, oddNs, incr, take, zip, tail, repItems, cons, activate

Defined Pair Symbols:

PAIRNS, ODDNS, INCR, TAKE, ZIP, TAIL, REPITEMS, ACTIVATE

Compound Symbols:

c, c1, c3, c6, c10, c12, c14, c17, c18, c19, c20, c21, c22

(3) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication transformation)

Removed 5 leading nodes:

INCR(cons(z0, z1)) → c3(CONS(s(z0), n__incr(activate(z1))), ACTIVATE(z1))
TAKE(s(z0), cons(z1, z2)) → c6(CONS(z1, n__take(z0, activate(z2))), ACTIVATE(z2))
ZIP(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) → c10(CONS(pair(z0, z2), n__zip(activate(z1), activate(z3))), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z3))
TAIL(cons(z0, z1)) → c12(ACTIVATE(z1))
REPITEMS(cons(z0, z1)) → c14(CONS(z0, n__cons(z0, n__repItems(activate(z1)))), ACTIVATE(z1))

Removed 3 trailing nodes:

ACTIVATE(n__oddNs) → c18(ODDNS)
PAIRNS → c(CONS(0, n__incr(n__oddNs)))
ODDNS → c1(INCR(pairNs), PAIRNS)

(4) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

pairNs → cons(0, n__incr(n__oddNs))
oddNs → incr(pairNs)
oddNs → n__oddNs
incr(cons(z0, z1)) → cons(s(z0), n__incr(activate(z1)))
incr(z0) → n__incr(z0)
take(0, z0) → nil
take(s(z0), cons(z1, z2)) → cons(z1, n__take(z0, activate(z2)))
take(z0, z1) → n__take(z0, z1)
zip(nil, z0) → nil
zip(z0, nil) → nil
zip(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) → cons(pair(z0, z2), n__zip(activate(z1), activate(z3)))
zip(z0, z1) → n__zip(z0, z1)
tail(cons(z0, z1)) → activate(z1)
repItems(nil) → nil
repItems(cons(z0, z1)) → cons(z0, n__cons(z0, n__repItems(activate(z1))))
repItems(z0) → n__repItems(z0)
cons(z0, z1) → n__cons(z0, z1)
activate(n__incr(z0)) → incr(activate(z0))
activate(n__oddNs) → oddNs
activate(n__take(z0, z1)) → take(activate(z0), activate(z1))
activate(n__zip(z0, z1)) → zip(activate(z0), activate(z1))
activate(n__cons(z0, z1)) → cons(activate(z0), z1)
activate(n__repItems(z0)) → repItems(activate(z0))
activate(z0) → z0

Tuples:

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))

S tuples:

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))

K tuples:none
Defined Rule Symbols:

pairNs, oddNs, incr, take, zip, tail, repItems, cons, activate

Defined Pair Symbols:

ACTIVATE

Compound Symbols:

c17, c19, c20, c21, c22

(5) CdtPolyRedPairProof (UPPER BOUND (ADD(O(n^1))) transformation)

Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))

We considered the (Usable) Rules:

activate(n__incr(z0)) → incr(activate(z0))
activate(n__oddNs) → oddNs
activate(n__take(z0, z1)) → take(activate(z0), activate(z1))
activate(n__zip(z0, z1)) → zip(activate(z0), activate(z1))
activate(n__cons(z0, z1)) → cons(activate(z0), z1)
activate(n__repItems(z0)) → repItems(activate(z0))
activate(z0) → z0
repItems(nil) → nil
repItems(z0) → n__repItems(z0)
cons(z0, z1) → n__cons(z0, z1)
zip(nil, z0) → nil
zip(z0, nil) → nil
zip(z0, z1) → n__zip(z0, z1)
take(0, z0) → nil
take(z0, z1) → n__take(z0, z1)
oddNs → incr(pairNs)
oddNs → n__oddNs
pairNs → cons(0, n__incr(n__oddNs))
incr(z0) → n__incr(z0)

And the Tuples:

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))

The order we found is given by the following interpretation:
Polynomial interpretation :

POL(0) = [5]   
POL(ACTIVATE(x₁)) = x₁   
POL(CONS(x₁, x₂)) = 0   
POL(INCR(x₁)) = [1]   
POL(REPITEMS(x₁)) = 0   
POL(TAKE(x₁, x₂)) = 0   
POL(ZIP(x₁, x₂)) = 0   
POL(activate(x₁)) = [3]   
POL(c17(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c19(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃   
POL(c20(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃   
POL(c21(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c22(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(cons(x₁, x₂)) = [3] + [2]x₁ + [3]x₂   
POL(incr(x₁)) = [3]   
POL(n__cons(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(n__incr(x₁)) = [4] + x₁   
POL(n__oddNs) = [2]   
POL(n__repItems(x₁)) = [1] + x₁   
POL(n__take(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(n__zip(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(nil) = [3]   
POL(oddNs) = [5]   
POL(pairNs) = [3]   
POL(repItems(x₁)) = [3] + [3]x₁   
POL(take(x₁, x₂)) = [3] + [3]x₁ + [5]x₂   
POL(zip(x₁, x₂)) = [4] + [5]x₁ + [2]x₂   

(6) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

pairNs → cons(0, n__incr(n__oddNs))
oddNs → incr(pairNs)
oddNs → n__oddNs
incr(cons(z0, z1)) → cons(s(z0), n__incr(activate(z1)))
incr(z0) → n__incr(z0)
take(0, z0) → nil
take(s(z0), cons(z1, z2)) → cons(z1, n__take(z0, activate(z2)))
take(z0, z1) → n__take(z0, z1)
zip(nil, z0) → nil
zip(z0, nil) → nil
zip(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) → cons(pair(z0, z2), n__zip(activate(z1), activate(z3)))
zip(z0, z1) → n__zip(z0, z1)
tail(cons(z0, z1)) → activate(z1)
repItems(nil) → nil
repItems(cons(z0, z1)) → cons(z0, n__cons(z0, n__repItems(activate(z1))))
repItems(z0) → n__repItems(z0)
cons(z0, z1) → n__cons(z0, z1)
activate(n__incr(z0)) → incr(activate(z0))
activate(n__oddNs) → oddNs
activate(n__take(z0, z1)) → take(activate(z0), activate(z1))
activate(n__zip(z0, z1)) → zip(activate(z0), activate(z1))
activate(n__cons(z0, z1)) → cons(activate(z0), z1)
activate(n__repItems(z0)) → repItems(activate(z0))
activate(z0) → z0

Tuples:

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))

S tuples:

ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))

K tuples:

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))

Defined Rule Symbols:

pairNs, oddNs, incr, take, zip, tail, repItems, cons, activate

Defined Pair Symbols:

ACTIVATE

Compound Symbols:

c17, c19, c20, c21, c22

(7) CdtPolyRedPairProof (UPPER BOUND (ADD(O(n^1))) transformation)

Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.

ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))

We considered the (Usable) Rules:

activate(n__incr(z0)) → incr(activate(z0))
activate(n__oddNs) → oddNs
activate(n__take(z0, z1)) → take(activate(z0), activate(z1))
activate(n__zip(z0, z1)) → zip(activate(z0), activate(z1))
activate(n__cons(z0, z1)) → cons(activate(z0), z1)
activate(n__repItems(z0)) → repItems(activate(z0))
activate(z0) → z0
repItems(nil) → nil
repItems(z0) → n__repItems(z0)
cons(z0, z1) → n__cons(z0, z1)
zip(nil, z0) → nil
zip(z0, nil) → nil
zip(z0, z1) → n__zip(z0, z1)
take(0, z0) → nil
take(z0, z1) → n__take(z0, z1)
oddNs → incr(pairNs)
oddNs → n__oddNs
pairNs → cons(0, n__incr(n__oddNs))
incr(z0) → n__incr(z0)

And the Tuples:

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))

The order we found is given by the following interpretation:
Polynomial interpretation :

POL(0) = 0   
POL(ACTIVATE(x₁)) = x₁   
POL(CONS(x₁, x₂)) = 0   
POL(INCR(x₁)) = [1]   
POL(REPITEMS(x₁)) = 0   
POL(TAKE(x₁, x₂)) = [3]   
POL(ZIP(x₁, x₂)) = 0   
POL(activate(x₁)) = [5]   
POL(c17(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c19(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃   
POL(c20(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃   
POL(c21(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c22(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(cons(x₁, x₂)) = [1] + [3]x₁   
POL(incr(x₁)) = [1]   
POL(n__cons(x₁, x₂)) = x₁   
POL(n__incr(x₁)) = [2] + x₁   
POL(n__oddNs) = [3]   
POL(n__repItems(x₁)) = [1] + x₁   
POL(n__take(x₁, x₂)) = [4] + x₁ + x₂   
POL(n__zip(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(nil) = [3]   
POL(oddNs) = [5]   
POL(pairNs) = [3]   
POL(repItems(x₁)) = [3] + [5]x₁   
POL(take(x₁, x₂)) = [2] + [2]x₁ + [4]x₂   
POL(zip(x₁, x₂)) = [2] + [3]x₁ + [3]x₂   

(8) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

pairNs → cons(0, n__incr(n__oddNs))
oddNs → incr(pairNs)
oddNs → n__oddNs
incr(cons(z0, z1)) → cons(s(z0), n__incr(activate(z1)))
incr(z0) → n__incr(z0)
take(0, z0) → nil
take(s(z0), cons(z1, z2)) → cons(z1, n__take(z0, activate(z2)))
take(z0, z1) → n__take(z0, z1)
zip(nil, z0) → nil
zip(z0, nil) → nil
zip(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) → cons(pair(z0, z2), n__zip(activate(z1), activate(z3)))
zip(z0, z1) → n__zip(z0, z1)
tail(cons(z0, z1)) → activate(z1)
repItems(nil) → nil
repItems(cons(z0, z1)) → cons(z0, n__cons(z0, n__repItems(activate(z1))))
repItems(z0) → n__repItems(z0)
cons(z0, z1) → n__cons(z0, z1)
activate(n__incr(z0)) → incr(activate(z0))
activate(n__oddNs) → oddNs
activate(n__take(z0, z1)) → take(activate(z0), activate(z1))
activate(n__zip(z0, z1)) → zip(activate(z0), activate(z1))
activate(n__cons(z0, z1)) → cons(activate(z0), z1)
activate(n__repItems(z0)) → repItems(activate(z0))
activate(z0) → z0

Tuples:

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))

S tuples:

ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))

K tuples:

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))

Defined Rule Symbols:

pairNs, oddNs, incr, take, zip, tail, repItems, cons, activate

Defined Pair Symbols:

ACTIVATE

Compound Symbols:

c17, c19, c20, c21, c22

(9) CdtPolyRedPairProof (UPPER BOUND (ADD(O(n^1))) transformation)

Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.

ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))

We considered the (Usable) Rules:

activate(n__incr(z0)) → incr(activate(z0))
activate(n__oddNs) → oddNs
activate(n__take(z0, z1)) → take(activate(z0), activate(z1))
activate(n__zip(z0, z1)) → zip(activate(z0), activate(z1))
activate(n__cons(z0, z1)) → cons(activate(z0), z1)
activate(n__repItems(z0)) → repItems(activate(z0))
activate(z0) → z0
repItems(nil) → nil
repItems(z0) → n__repItems(z0)
cons(z0, z1) → n__cons(z0, z1)
zip(nil, z0) → nil
zip(z0, nil) → nil
zip(z0, z1) → n__zip(z0, z1)
take(0, z0) → nil
take(z0, z1) → n__take(z0, z1)
oddNs → incr(pairNs)
oddNs → n__oddNs
pairNs → cons(0, n__incr(n__oddNs))
incr(z0) → n__incr(z0)

And the Tuples:

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))

The order we found is given by the following interpretation:
Polynomial interpretation :

POL(0) = [2]   
POL(ACTIVATE(x₁)) = x₁   
POL(CONS(x₁, x₂)) = 0   
POL(INCR(x₁)) = [2]   
POL(REPITEMS(x₁)) = [1]   
POL(TAKE(x₁, x₂)) = [1]   
POL(ZIP(x₁, x₂)) = 0   
POL(activate(x₁)) = [5]   
POL(c17(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c19(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃   
POL(c20(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃   
POL(c21(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c22(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(cons(x₁, x₂)) = [3] + x₁ + [3]x₂   
POL(incr(x₁)) = [3]   
POL(n__cons(x₁, x₂)) = [1] + x₁   
POL(n__incr(x₁)) = [4] + x₁   
POL(n__oddNs) = [5]   
POL(n__repItems(x₁)) = [2] + x₁   
POL(n__take(x₁, x₂)) = [4] + x₁ + x₂   
POL(n__zip(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(nil) = [3]   
POL(oddNs) = [5]   
POL(pairNs) = [3]   
POL(repItems(x₁)) = [4] + [2]x₁   
POL(take(x₁, x₂)) = [1] + [3]x₁ + [2]x₂   
POL(zip(x₁, x₂)) = [2] + [3]x₁ + [2]x₂   

(10) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

pairNs → cons(0, n__incr(n__oddNs))
oddNs → incr(pairNs)
oddNs → n__oddNs
incr(cons(z0, z1)) → cons(s(z0), n__incr(activate(z1)))
incr(z0) → n__incr(z0)
take(0, z0) → nil
take(s(z0), cons(z1, z2)) → cons(z1, n__take(z0, activate(z2)))
take(z0, z1) → n__take(z0, z1)
zip(nil, z0) → nil
zip(z0, nil) → nil
zip(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) → cons(pair(z0, z2), n__zip(activate(z1), activate(z3)))
zip(z0, z1) → n__zip(z0, z1)
tail(cons(z0, z1)) → activate(z1)
repItems(nil) → nil
repItems(cons(z0, z1)) → cons(z0, n__cons(z0, n__repItems(activate(z1))))
repItems(z0) → n__repItems(z0)
cons(z0, z1) → n__cons(z0, z1)
activate(n__incr(z0)) → incr(activate(z0))
activate(n__oddNs) → oddNs
activate(n__take(z0, z1)) → take(activate(z0), activate(z1))
activate(n__zip(z0, z1)) → zip(activate(z0), activate(z1))
activate(n__cons(z0, z1)) → cons(activate(z0), z1)
activate(n__repItems(z0)) → repItems(activate(z0))
activate(z0) → z0

Tuples:

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))

S tuples:

ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))

K tuples:

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))

Defined Rule Symbols:

pairNs, oddNs, incr, take, zip, tail, repItems, cons, activate

Defined Pair Symbols:

ACTIVATE

Compound Symbols:

c17, c19, c20, c21, c22

(11) CdtPolyRedPairProof (UPPER BOUND (ADD(O(n^1))) transformation)

Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.

ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))

We considered the (Usable) Rules:

activate(n__incr(z0)) → incr(activate(z0))
activate(n__oddNs) → oddNs
activate(n__take(z0, z1)) → take(activate(z0), activate(z1))
activate(n__zip(z0, z1)) → zip(activate(z0), activate(z1))
activate(n__cons(z0, z1)) → cons(activate(z0), z1)
activate(n__repItems(z0)) → repItems(activate(z0))
activate(z0) → z0
repItems(nil) → nil
repItems(z0) → n__repItems(z0)
cons(z0, z1) → n__cons(z0, z1)
zip(nil, z0) → nil
zip(z0, nil) → nil
zip(z0, z1) → n__zip(z0, z1)
take(0, z0) → nil
take(z0, z1) → n__take(z0, z1)
oddNs → incr(pairNs)
oddNs → n__oddNs
pairNs → cons(0, n__incr(n__oddNs))
incr(z0) → n__incr(z0)

And the Tuples:

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))

The order we found is given by the following interpretation:
Polynomial interpretation :

POL(0) = [3]   
POL(ACTIVATE(x₁)) = x₁   
POL(CONS(x₁, x₂)) = [1]   
POL(INCR(x₁)) = [3]   
POL(REPITEMS(x₁)) = [3]   
POL(TAKE(x₁, x₂)) = 0   
POL(ZIP(x₁, x₂)) = 0   
POL(activate(x₁)) = [5]   
POL(c17(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c19(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃   
POL(c20(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃   
POL(c21(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c22(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(cons(x₁, x₂)) = 0   
POL(incr(x₁)) = [3]   
POL(n__cons(x₁, x₂)) = [4] + x₁ + x₂   
POL(n__incr(x₁)) = [4] + x₁   
POL(n__oddNs) = [3]   
POL(n__repItems(x₁)) = [4] + x₁   
POL(n__take(x₁, x₂)) = [3] + x₁ + x₂   
POL(n__zip(x₁, x₂)) = [4] + x₁ + x₂   
POL(nil) = [3]   
POL(oddNs) = [2]   
POL(pairNs) = [3]   
POL(repItems(x₁)) = [3] + [3]x₁   
POL(take(x₁, x₂)) = [2] + [3]x₁ + [3]x₂   
POL(zip(x₁, x₂)) = [3] + [3]x₁ + [3]x₂   

(12) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

pairNs → cons(0, n__incr(n__oddNs))
oddNs → incr(pairNs)
oddNs → n__oddNs
incr(cons(z0, z1)) → cons(s(z0), n__incr(activate(z1)))
incr(z0) → n__incr(z0)
take(0, z0) → nil
take(s(z0), cons(z1, z2)) → cons(z1, n__take(z0, activate(z2)))
take(z0, z1) → n__take(z0, z1)
zip(nil, z0) → nil
zip(z0, nil) → nil
zip(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) → cons(pair(z0, z2), n__zip(activate(z1), activate(z3)))
zip(z0, z1) → n__zip(z0, z1)
tail(cons(z0, z1)) → activate(z1)
repItems(nil) → nil
repItems(cons(z0, z1)) → cons(z0, n__cons(z0, n__repItems(activate(z1))))
repItems(z0) → n__repItems(z0)
cons(z0, z1) → n__cons(z0, z1)
activate(n__incr(z0)) → incr(activate(z0))
activate(n__oddNs) → oddNs
activate(n__take(z0, z1)) → take(activate(z0), activate(z1))
activate(n__zip(z0, z1)) → zip(activate(z0), activate(z1))
activate(n__cons(z0, z1)) → cons(activate(z0), z1)
activate(n__repItems(z0)) → repItems(activate(z0))
activate(z0) → z0

Tuples:

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))

S tuples:none
K tuples:

ACTIVATE(n__incr(z0)) → c17(INCR(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__repItems(z0)) → c22(REPITEMS(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__take(z0, z1)) → c19(TAKE(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))
ACTIVATE(n__cons(z0, z1)) → c21(CONS(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
ACTIVATE(n__zip(z0, z1)) → c20(ZIP(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1))

Defined Rule Symbols:

pairNs, oddNs, incr, take, zip, tail, repItems, cons, activate

Defined Pair Symbols:

ACTIVATE

Compound Symbols:

c17, c19, c20, c21, c22

(13) SIsEmptyProof (EQUIVALENT transformation)

The set S is empty

(14) BOUNDS(O(1), O(1))